Tämä juttusarjan osa vaparenkaiden paikkojen asettamisesta on hiukan teoreettisempi. Tarkoituksena on syventyä perusajatukseen kärkierenkaan ja viimeisen vaparenkaan välimatkan jakamisesta tasaisesti kasvaviin välimatkoihin. Osiossa on tarkoitus kehittää oma kaava vaparenkaiden paikkojen laskentaan soveltamalla luonnollista kasvua kuvaavaa funktiota. Lopuksi uudella menetelmällä laskettuja tuloksia verrataan erään varsinaiseen vaparenkaiden paikkojen laskentaan tarkoitetun kaavan antamiin tuloksiin.
Neperin luku on vakio ja se on eksponenttifunktion ex kantaluku. Luonnossa esiintyy kasvuilmiöitä, jotka ovat ekspontentiaalisia kuten esimerkiksi puiden kasvu. Eräs sovellus tästä on jatkuva korko. Luonnollisen logaritmin kantalukuna on Neperin luku e.
e = 2,718281828459...Voisikohan luonnollista kasvua kuvaavaa matematiikkaa soveltaa vavanrakennuksessa ja vaparenkaiden paikkojen laskennassa?
Ajatellaanpa tilannetta, jossa vuoden tarkastelujaksolla alkupääomalle maksetaan korkoa kerran vuodessa. Sitten maksuväliä lyhennetään puolivuotiseksi
ja korko jaetaan jaksoa vastaavaksi kahdella. Kun tätä jakson pituutta lyhennetään äärettömästi, ja jaksojen lukumäärä lähestyy ääretöntä
, niin termi (1+1/n)n lähestyy Neperin lukua.
Seuravaaksi lisäämme tarkasteluun useamman vuoden yli ulottuvan jatkuvan koron.
Sitten muutamme laskukaavan vavanrakennuksen sovellukseksi. Muuttujien nimissä käytämme D. Clemens'sin kaavasta
ja edellisistä juttusarjan osista tuttuja nimiä, mikä helpottaa asioiden ymmärtämistä.
Kaavassa tulee huomioida, että renkaan järjestysnumerosta täytyy vähentää 1, koska e0 = 1.
Tämän voi todistaa laskemalla 1. vaparenkaan etäisyyden kärkirenkaasta, Bväli1 = t.
Olkoot t = 12 cm ja olkoot välimatkakerroin d = 9,27 %, niin 12 x e0 x 0,0927 = 12 x 1 = 12 = t.
Huomautetaan taas kertauksena tässä yhteydessä, että tämä välimatkahan asetetaan aina muuten kuin laskemalla.
Verrattuna jatkuvan koron kaavaan, alkupääoma on korvattu kärkirenkaan ja 1. vaparenkaan välimatkalla, korko välimatkakertoimella ja vuodet renkaan järjestysnumerolla.
Tuloksena saatava vaparenkaan etäisyys edelliseen renkaaseen vastaa korkokaavassa loppupääomaa.
Muodostettu uusi paikkalaskentakaava antaa yksittäisen vaparenkaan etäisyyden edelliseen vaparenkaaseen, Bvälin. Se ei anna välimatkaa kärkirenkaaseen, Bn, kuten esim. D. Clemens'sin kaava. Ko. vaparenkaan etäisyyden kärkirenkaaseen saa laskettua edellisten välimatkojen summasta.
Uuden kaavan käytön ongelmaksi vaparenkaiden paikkalaskennassa muodostuu välimatkakertoimen d ratkaiseminen. Kaikkien vaparenkaiden yhteenlaskettujen välimatkojen summan tulee olla siis sama kuin mitattu kärkirenkaan ja viimeisen vaparenkaan välimatka. Helpointa probleemi on ratkaista numeerisesti kokeilemalla kahta arvoa, ja haarukoimalla tuloksen. Myös monilla laskimilla on mahdollisuus ratkaista muuttuja numeerisesti.
Eräs vaihtoehto on myös taulukkolaskentasovellus. Sijoitetaan alustava välimatkakerroin yhteen soluun, ja lasketaan kaikki välimatkat tarvittavalle rengasmäärälle. Sitten lasketaan näiden välimatkojen summa yhteen soluun käyttäen summakaavaa. Sitten vain muutetaan välimatkakerrointa kunnes yhteenlaskettu väimatkojen summa on sama kuin mittaamalla saatu kärkirenkaan ja viimeiden vaparenkaan Bn etäisyys. Osassa taulukkolaskentasovelluksia on Tavoitteen haku -toiminto (eng. goal seek), joka helpottaa välimatkakertoimen hakemista merkittävästi.
Taulukkoon lasketut renkaiden paikat, käyttäen muodostettua menetelmää ja laskentakerrointa d. Taulukon arvoista täytyy huomioida se, että kärkirenkaan ja 1. vaparenkaan välimatka t on asetettu ilman laskentaa. Sama koskee kärkirenkaan ja viimeisen vaparenkaan välistä etäisyyttä Bn.
Vertailtaessa tässä esimerkissä kehitetyllä uudella laskentakaavalla laskettuja vaparenkaiden paikkoja Acid Rodin paikkalaskennalla muodostettuihin,
voidaan todeta, että erot niillä laskettujen vaparenkaiden paikkojen välillä ovat ± 0,1 mm, ja ovat täysin merkityksettömiä. Staattisessa testissä
kun senttimetrienkään erot eivät välttämättä muuta mitään.
Uusi ekspotentiaaliseen kasvuun perustuva vaparenkaiden paikkojen laskentakaava näyttäisikin toimivan melko hyvin. Oma lukunsa on se, minkä tyyppisille (kokotoiminen, kärkitoiminen, parabolinen, jne.) vapa-ahioille tämä menetelmä ja kaava antaa hyvän "arvauksen". Sen joutuu jokainen itse
todentamaan staattisella taivutustestillä kokeilemalla kuten aina muidenkin vaparenkaiden paikkojen laskentasovellusten kohdalla.
Lataa uusi vaparenkaiden paikkalaskin (MS Excel)